Гомоморфизм

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это морфизм в категории алгебраических систем, то есть отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения.

Определение

Отображение [math]\displaystyle{ f \colon G_1 \to G_2 }[/math] называется гомоморфизмом групп [math]\displaystyle{ (G_1,*) }[/math], [math]\displaystyle{ (G_2,\times) }[/math], если оно одну групповую операцию переводит в другую: [math]\displaystyle{ f(a*b)=f(a)\times f(b) }[/math], то есть образ произведения равен произведению образов.

Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика Фробениуса, а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм^[1]. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма, предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).

Связанные определения

Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
Ядро гомоморфизма
- для гомоморфизма абелевых групп (в частности, для колец, векторных пространств и т. д.) — прообраз нуля,
- для общих групп — прообраз единицы.

Свойства

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

Типы гомоморфизмов

Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм
Биморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
Изоморфизм — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма
Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
Автоморфизм — изоморфизм на само множество

См. также

Факторгруппа

Примечания

↑ Гомоморфизм // Системный анализ и принятие решений : Словарь-справочник. — М. : Высшая школа, 2004. — С. 72. — 616 с. — ББК 32.817. — УДК 005^(G). — ISBN 5-06-004875-6.

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).

[1] Гомоморфизм // Системный анализ и принятие решений : Словарь-справочник. — М. : Высшая школа, 2004. — С. 72. — 616 с. — ББК 32.817. — УДК 005^(G). — ISBN 5-06-004875-6.

[1]